ゴルトンボードとは？
ゴルトンボードは、ボールをピンの列に落とす単純な装置です。ボールがピンに当たるたびに、左か右へ跳ねます。
多くのボールが落ちると、ほとんどは中央付近に着地し、遠い端まで届くのはわずかです。それが、下部に見えるおなじみの釣鐘型のパターンを生み出します。
確率と統計
ゴルトンボード：落ちるボールからパスカルの三角形へ
ボードの大きさを自分で設定し、落下を実行して、ばらつきのあるヒストグラムを同じ画面で表示される正確なパスカル係数と比較しましょう。
バウンス行 8 着地ビン 9 1回あたり 21 個のボール
インタラクティブなシミュレーション
設定を変更し、実験を実行して、テーマや視点を切り替えることなく正確な組み合わせ論を表示します。
着地ビンの数は常にバウンス行 + 1 に等しいため、どちらの欄を編集してもボードは数学的に整合します。
なぜ二項分布と一致するのか
各バウンスで左右へ進む確率が等しいなら、ボールは互いに独立したベルヌーイ試行の連続を経験します。n 行の後、ビン k に到達する確率は次のとおりです：
P(X = k) = C(n, k) / 2n
ここで C(n, k) は、その着地ビンへ至る左右の異なる経路の数を数えます。8 行では 28 = 256 通りの経路があり、各ビンはその係数に応じて割り当てを受けます。
パスカルの三角形とは？
パスカルの三角形は数のパターンです。頂点の 1 から始まり、新しい数はすぐ上にある2つの数を足して作られます。
このボードでは、第 8 行は 1, 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8, 1 です。これらの数は、8 回のバウンスの後、9 個の着地ビンのそれぞれに何通りの異なる経路が到達しうるかを教えてくれます。
このシミュレーションの読み方
1回の実行は少し乱雑に見えることがあります。落としたボールの数が限られているからです。何度も繰り返すと、棒はより滑らかで中央が高い形へと落ち着きます。表示機能は、ランダムな結果とその下にある正確な経路数を比較するのに役立ちます。